Авторы: с.н.с., к.б.н. А.К.Губер, профессор, д.б.н. Е.В.Шеин

I. Организационно-методический раздел

Цель курса: обучить студентов основам построения и использования математических моделей.

Задачи курса: познакомить студентов старших курсов с основными понятиями математического моделирования, устройством моделей различного уровня и класса, с основами эмпирических моделей регрессионного типа, полуэмпирическими физически обоснованными моделями переноса влаги и солей в почвах и с аналитическими моделями.

Место курса в профессиональной подготовке выпускника: данный спецкурс формирует у студентов представление о значении математического моделирования для планирования эксперимента, прогнозирования процессов в почвах, нахождения оптимального решения, а также исследования почвенных процессов с помощью математических моделей. Большое значение имеют практические занятия с различными математическими моделями, дающие навыки работы с прогностическими моделями.

Требования к уровню освоения содержания курса: по окончанию курса студент должен иметь понятие о структуре математических моделей, граничных условиях и экспериментальном обеспечении, уметь использовать модели и проводить машинные целевые эксперименты с математическими моделями на ЭВМ.

II. Содержание курса

1. Введение. Понятие о математическом моделировании. Системный анализ как основной теоретический подход к построению моделей.

2. Эмпирические математические модели. Линейные и нелинейная регрессия. Основные виды регрессионных зависимостей. Способы преобразования зависимостей. Оценка и сравнение эмпирических моделей. Среднеквадратическая ошибка и ее использование для оцуенки качества аппроксимации. Разброс и систематические ошибки. Критерии оценки ошибок аппроксимации. Эмпирические модели основных гидрофизических характеристик почвы. Упражнения.

2. Математические модели процессов переноса в почве. Перенос тепла. Постановка задачи. Аналитические решения. Численные решения Методы расчета параметров моделей. Сравнение и оценка точности моделей. Анализ чувствительности моделей. Упражнения.

3. Перенос влаги. Балансовая модель передвижения влаги в почве. Экспериментальное обеспечение модели. Почвенно-гидрологические константы и их использование в балансовых моделях переноса влаги в почве. Источники ошибок балансовых моделей.
Дифференциальное уравнение переноса влаги. Параметры моделей и методы их расчета. Реализация моделей и машинный эксперимент. Уравнение Ричардса и его использование при построении расчетной схемы. Особенности расчетной схемы на примере одномерной модели влагопереноса.
Сравнение и оценка моделей. Использование статистических критериев для оценки моделей. Непараметрический критерий Вильямса-Клюта для оценки различий и выявления модлеи лучшего качества. Анализ чувствительности моделей. Упражнения.

4. Однокомпонентный перенос химических веществ. Уравнение переноса, начальные и граничные условия. Модели трансформации химического вещества. Способы решения уравнений. Методы расчета параметров моделей. Алгоритм и программа расчета миграции химического вещества. Сравнение и оценка моделей. Анализ чувствительности моделей. Упражнения.

5. Использование моделей для целей характеристики и прогноза эволюции почв, мелиорации почв, оценки загрязнения и деградации. Понятие о модлеировании переноса в почве несмешивающихся жидкостей. Двух- и трехмерные модели.

6. Заключение. Значение математических моделей для изучения почв и нахождения оптимальных решений при эксплуатации почвенного покрова.

Примерный перечень вопросов для самостоятельной работы, упражнений и зачета.

1. Даны экспериментальные данные в виде значений независимой переменной (Х) и двух зависимых (У1 и У2). Открыть пакет SТATISTICA. Набить данные соответственно в переменных (столбцах) 1, 2 и 3 (VAR1, VAR2 и VAR3). Сохранить под своим именем.

2. Узнать какой тип функции задан. Для этого зайти в услугу GRAFS>SCATTERPLOTSTATS2D>VARIABLES> x1& y1>OK. Уточнить вид зависимости (возрастающий, убывающий, с максимумом). Проделать аналогично для Х1 и У11. Попробовать задать виды зависимости (линейную, сплайн, полином пр.) для Ваших данных.

3. Зайти в ANALYSIS>OTHER STAT>NONLINEAR ESTIMATION> USER SPECIFIED>FUNCTION TO BE ESTIMATED>ESTIMATED FUNCTION: Задать вид функции, в котором независимая и зависимая переменные обозначаются соответствующими столбцами (V1,V2 и пр. ), а оцениваемые параметры, как b1, b2, и т. д. Далее OK>OK (происходит счет). После счета первым делом посмотреть график совпадения экспериментальных дат и расчетной функции FITTED 2D FUNCTION. Если совпадение визуально удовлетворительное, продолжить анализ параметров и погрешностей (остатков)., т. е. перейти к п. 4.

4. Открыть PARAMETERS&STAND.ERR: списать значения параметров, их ошибок, t-критерия и уровня вероятности. Далее провести анализ погрешностей:
DISTRIB. OF RESIDUALS. Посмотреть и проанализировать гистограмму распределения погрешностей. Выводы о погрешностях. Здесь просмотреть нормальность распределения погрешностей в услуге «Normal Probability Plot of Residuals».
PREDICTEDvsOBSERVED. Проанализировать совпадение экспериментальных и расчетных.
PREDICTEDvsRESIDUALS. Проанализировать изменение погрешностей с ростом функции. Вывод о наличии систематических ошибок.

5. Если аппроксимация прошла неудачно, вернуться к п.3, и повторить те же операции с другим видом функции.
Аппроксимировать значения 2-й функции: зависимости переменной У11 от Х1. Получить параметры аппроксимации для 2-й экспериментальной зависимости. Сравнить достоверность отличий полученных параметров по t-критерию (табличные t7=2.36; t8=2.31). Ответить на вопросы: (1) что указывает на хорошую аппроксимацию, (2) достоверны ли параметры у 2-х аппроксимаций экспериментальных зависимостей, (3) о чем говорят различия параметров, если эти функции отражают физический (биологический, и пр. ) процесс, (4) о чем говорят распределения остатков.
Задача по поливариантным расчетам солепереноса в 2-х слойной почве с помощью программы FAUST-95. Провести расчет водно-солевого режима за 30-суточный период с исходными данными (файл prob.dat):
(1) инициировать программу (run.bat или faust.exe), далее “ВВОД”, выбрать файл (prob.dat); (2) счет; (3) после окончания счета, нажав “КОНЕЦ”, выйти в DOS; (4) инициировать программу подготовки хроноизоплет (fplet.exe), выбрать файл в услуге “ФАЙЛ”, перейти к услуге “ВЫБОР”, среди предложенного списка выбрать [необходимый], нарисовать хроноизоплеты выбранного свойства. Исходная картинка сохраняется в файле prob00.pcx. Выйти в DOS и просмотреть записанную картинку с помощью F2. Просмотреть результаты расчета в образовавшемся файле prob.lst.
Поливариантные расчеты с изменением начальных и граничных условий и свойств почвы в виде изменения параметров. Для этого: войти в программу, услуга “ПОДГОТОВКА ДАННЫХ”, выбор “ЧТЕНИЕ”>“ФАЙЛ” (выбрать исходный файл prob.dat), затем услуга “РЕДАКТИРОВАНИЕ ДАННЫХ“, в которой выполняются поочередно задания а), б) и в), и после редакции файла в услуге “ЗАПИСЬ” сохранить отредактированный файл, придав ему новое имя соответственно заданию (например, prob1.dat, prob2.dat и т. д. ). Каждый новый отредактированный файл отвечает заданию а), б) или в). После редакции и сохранения файла провести расчет (см. пп.1). После каждого задания необходимо рисовать хроноизоплеты исследуемого свойства и сохранять рисунок с помощью клавиши F2, а также просматривать и записывать (в тетрадь!) результаты счета в образующихся файлах prob1.lst, prob2.pcx.
Задания по прогнозным расчетом с изменением:
а) начальных условий: увеличить во. . -м слое начальную концентрацию. . . . . . . . . в 1. 5 раза;
б) с изменением граничных условий: увеличить концентрацию. . . . . . . . . в оросительных водах при. . -м поливе в 2 раза;
в) с изменением свойств почв: увеличить параметр “шаг дисперсии” -  - в 20 раз.
В результате проведенных расчетов должны быть получены 3 зачетных графика хроноизоплет (например, prob100.pcx, prob200.pcx и т. д. ), которые просматриваются и отмечаются характерные особенности.
Прогнозная контрольная задача: произойдет ли осолонцевание поверхностного слоя почвы в концу расчетного периода: если концентрация иона Na в поливной воде составит. . . . . . . . . моль/л?
Описываются результаты прогнозных расчетов по полученным графикам хроноизоплет и результатам расчета поочередно для всех заданий, отвечая на вопросы: ”Что изменилось? Почему?”. Отдельно отвечаете на контрольную задачу.

III. Распределение часов курса по темам и видам работ

Лекционный курс 12 часов. Практические занятия в машинном классе с программами STATISTICA, FAUST-95, AQUASALT и др.

IV. Форма итогового контроля - практический зачет и теоретический экзамен

V. Учебно-методическое обеспечение курса

Основная литература

  1. Рыжова И.М. Математическое моделирование почвенных процессов. Изд-во Моск. ун-та, 1987. 82 с.
  2. Пачепский Я.А. Математические модели процессов в мелиорируемых почвах. Изд-во Моск. ун-та, 1992. 85 с.

Дополнительная литература

  1. Кошелева Н.Е. Моделирование почвенных и ландшафтно-геохимических процессов. Изд-во Моск. ун-та, 1997.
  2. Богатырев Л.Г., Рыжова И.М. Биологический круговорот и его роль в почвообразовании. Изд-во Моск. Ун-та, 1994.
  3. Арнольд В.И. Теоория катастроф. 1990.
  4. Джонгман Р.Г., С.Дж.Ф. Тер Браак, О.Ф.Р. Ван Тонгерен. Анализ данных в экологии сообществ и ландшафтов. М.: РАСХН. 1999. 306 с.
  5. Пачепский Я.А., Пачепская Л.Б., Мироненко Е.В., Комаров А.С. Моделирование водно-солевого режима почво-грунтиов с исползованием ЭВМ. М., 1976.
  6. Сиротенко О.Д. Математическое моделирование водно-теплового режима и продуктивности агроэкосистем. Л., Гидрометеоиздат, 1981.
  7. Федоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология. М., 1980.
  8. Бихеле З.Н., Молдау Х.А., Росс Ю.К. Математическое моделирование транспирации и фотосинтеза растений при недостатке почвенной влаги. Л., Гидрометеоиздат. 1980.
  9. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир. 1972. 957 с.
  10. Пачепский Я.А. Математические модели физико-химических процессов в почвах. М.:Наука. 1990. 186 с.
  11. Моделирование продуктивности агроэкосистем. Л.: Гидрометеоиздат. 1982. 264 с.
  12. Моделирование процессов засоления и осолонцевания почв. М.: Наука. 1980. 262 с.
  13. Полевые и лабораторные методы исследований фихических свойств и режимов почв. Под ред Е.В.Шеина. М. Изд-во Моск. ун-та. 2001.
  14. Шеин Е.В., Карпачевский Л.О. Толковый словарь по физике почв. М.:ГЕОС. 2003.

Рецензенты: профессор, д.б.н. Л.О.Карпачевский (МГУ), к.ф-м.н. П.Ф.Демченко (Институт физики атмосферы РАН)